LEHRSTUHL

NUMERISCHE

MECHANIK

Methoden der adaptiven Netzverfeinerung (AMR) sind in vielen industriellen und auch wissenschaftlichen Anwendungen unbedingt erforderlich, um den numerischen Aufwand zu reduzieren und dadurch komplexe Problemstellungen überhaupt erst handhabbar zu machen. Betrachtet man jedoch die gegenwärtige Literatur zum Thema AMR, kristallisieren sich einige Unzulänglichkeiten heraus, die noch gelöst werden müssen. Um eine lokale Netzverfeinerung zu erreichen, müssen entweder hybride Netze bestehend aus Simplex- und Tensor-Produkt-Elementen oder Zwangsbedingungen genutzt werden. Beide Ansätze führen jedoch unweigerlich zu lokalen Genauigkeitsverlusten. Darüber hinaus werden in industriellen Anwendungen oft lineare Ansatzfunktionen verwendet, weshalb nur eine algebraische Konvergenz erzielt werden kann. Im wissenschaftlichen Umfeld gibt es selbstverständlich auch Ansätze für eine vollständige hp-Adaptivität. Diese Verfahren sind aber aufgrund ihrer Komplexität in der Implementierung auf Netze mit einem hängenden Knoten pro Elementkante/-fläche ausgelegt und weisen Schwächen in der Anwendung auf hoch dynamische Prozesse (explizite Zeitintegration) auf, da diagonale Massenmatrizen nicht verfügbar sind. Anzumerken ist, dass im Vergleich zu einfachen h-Verfeinerungen aber exponentielle Konvergenzraten erreicht werden können. Die genannten Probleme können durch höherwertige Übergangselemente, die auf der Basis der sogenannten gemischten (transfiniten) Interpolation hergeleitet werden, leicht beseitigt werden. Die Elementformulierung beruht auf Vierecks- bzw. Hexaederelementen im Referenzgebiet und kann beliebige Diskretisierungen miteinander koppeln. Im Prinzip können verschiedenste Elementfamilien gekoppelt werden, die sich nicht nur in Größe oder Ansatzordnung unterscheiden. Da der Funktionsraum nicht durch Zwangsbedingungen eingeschränkt werden muss, müssen auch keine Kompromisse hinsichtlich der Genauigkeit eingegangen werden. Für hochfrequente, transiente Berechnungen werden in diesem Projekt außerdem noch geeignete Methoden zur Diagonalisierung der Massenmatrix erarbeitet. Die entstandene Elementfamilie bildet die Basis für dynamische Netzverfeinerungen. Das besondere Merkmal dieses Ansatzes ist die gezielte Kombination von Verfeinerungs- und Vergröberungsschritten, die in jedem Zeitschritt der Simulation ausgeführt werden. Damit können optimale Konvergenzraten unter möglichst geringem numerischen Aufwand erzielt werden. Um die Effizienz der entwickelten Technik weiter zu steigern, werden die Algorithmen für Hochleistungsrechner aufbereitet. Die herausragenden Eigenschaften der vorgeschlagenen Methodik werden an ausgewählten Beispielen der Wellenausbreitung verdeutlicht. Dazu werden die kontinuierliche Strukturüberwachung mittels geführter Wellen in mikrostrukturierten Materialien und die Analyse seismischer Aktivitäten genutzt.

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